matemáticas 6206: mayo 2014

Integrantes:

Marlen Zarco Bastida
Jovani Gomez Mondragon
Joselyne Esquivel Carmona
Maria Hortensia Munguia Romero
Diana Laura Piña Cruz

Análisis integral de funciones

Propósito del modulo

calcular magnitudes físicas, química, probabilisticas o de población mediante la aplicación de técnicas de aplicación definida y indefinida para implementar soluciones de módulos matemáticos en contextos diversos.

UNIDAD 1

Determinación de la integral indefinida

objetivo 1.1

Calculo de anti derivadas mediante formulas inmediatas de integración

objetivo 1.1.1

Resuelve ejercicios de anti derivadas inmediatas considerando lo siguiente:

formulas
procedimientos
resultados

a) Determinación de diferenciales

interpretación gráfica de la diferencial de la variable dependiente
definición de a diferencial de la variable independiente y dependiente
reglas de diferenciación

b) Calculo de anti derivadas

- definición

- regla de antiderivacion por potencias

Formulas integrales inmediatas

- Algebraicas

- Logarítmicas

- Exponenciales

- Trigonométricas

Solución de problemas

objetivo 1.2

Resuelve ejercicios y aplicaciones de la integral indefinida de acuerdo con lo siguiente:

Ejercicios con el método de:

- Cambio de variable

- Por partes

- Fracciones parciales

- Solución por tablas

Problemas de algún contexto de:

- Ciencias

- Ingeniería

- Economía

- Administración

a) Solución por cambio de variable o sustitución

- Algebraicas

- Trigonométricas

- Exponenciales

- Logarítmicas

b) Solución por partes

- Formulas

- Aplicación

c) Solución por fracciones parciales

- Casos

- Aplicación

d) Solución por sustitución trigonométrica

- Casos

- Aplicación

e) Solución por tablas

- Trigonométricas

- Algorítmicas

- Logarítmicas

- Exponenciales

- Irracionales

f) Calculo de ecuación diferencial

Valores separables
Reacción de problemas aplicadas en diferentes contextos

- Ciencias e ingeniería

- Economía y administración

UNIDAD 2

Determinación de la integral definida

Calculo de integrales definidas mediante formulas directas y métodos

objetivo 2.1.1

Resuelve de la integral definida considerando lo siguiente:

- Formulas

- Métodos

- Procedimientos

- Resultados

a) Determinación de la integral definida

- Notación sumatoria

- Suma de riemann

- Concepto de integral definida en su intervalo

- Propiedades

b) Aplicación del teorema fundamental del calculo

- Definición

- Formulas directas

- Calculo de integrales definidas por métodos

- Por cambio de variable

- Por partes

- Por fracciones parciales

objetivo 2.2

Calculo de áreas mediante integrales definidas

objetivo 2.2.1

Resuelve aplicaciones por la integral definida de acuerdo a lo siguiente:

Ejecución por calculo de áreas

- Con una función

- Con dos funciones

- Con tres funciones

problemas de algún contexto

- Ciencias

- Ingeniería

- Economía

- Administración

a) Calculo de áreas de figuras planas

- Con una función

- Sobre el eje x

- Bajo el eje x

- Entre el eje x

Con dos y tres funciones

- Sobre y el eje x

- Sobre y debajo del eje x

- Entre el eje x

- Por la derecha del eje y

- Entre el eje y

- Entre dos gráficas

- Entre tres gráficas

b) Resolución de problemas aplicados en diferentes contextos

Ciencias e ingeniería
Economía
Administración

DETERMINACIÓN DE DIFERENCIALES

Interpretación gráfica de la diferencial de la variable dependiente.

Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable.

La variable dependiente en una función se suele representar por y.

La variable dependiente se representa en el eje ordenadas.

La variable y está en función de la variable x, que es la variable independiente.

Ejemplos

El precio que pagamos por las patatas depende del número de kilogramos que compremos.

x = Kg de patatas 1 2 3 4 5

y = Precio en € 2 4 6 8 10

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y = 3 + 0.5 x

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.

x 10 20 30

y= 3 + 0.5x 8 13 18

Reglas de diferenciación.

Función de una variable-de forma

Y = f (x) donde f significa cualquier función. En

Economía, generalmente, suponemos que las funciones son continuamente

Diferenciables. k es un constante.

1. Regla de la función constante

Determinación de diferenciales.

Interpretación grafica de la diferencial de la variable dependiente.

Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable.

La variable dependiente en una función se suele representar por y.

La variable dependiente se representa en el eje ordenadas.

La variable y está en función de la variable x, que es la variable independiente.

Ejemplos

El precio que pagamos por las patatas depende del número de kilogramos que compremos.

x = Kg de patatas 1 2 3 4 5

y = Precio en € 2 4 6 8 10

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y = 3 + 0.5 x

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.

x 10 20 30

y= 3 + 0.5x 8 13 18

ANTI DERIVADAS

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

INTEGRALES LOGARÍTMICAS

INTEGRALES EXPONENCIALES

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Potencias pares de sen x o cos x

Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad:

Potencias impares de sen x o cos x

Se relacionan el seno y el coseno mediante la fórmula:

Con exponente par e impar

El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.

Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)

Se trasforman los productos en sumas:

Una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inicial:

EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

Es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotecnia: "Un Día Vi Una Vaca sin cola (menos integral) Vestida De Uniforme".

Eligiendo adecuadamente los valores de u y dv, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

Un buen orden para escoger la u según la función es este:

1. Trigonométrica Inversa

2. Logarítmica

3. Algebraica o polinómica

4. Trigonométrica

5. Exponencial

FRACCIONES PARCIALES

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de La place Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma

donde:

§ P(x) y Q(x) son polinómios

§ El grado de P(x) es menor que el de Q(x)

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

· Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

· Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

De variables separables

· Esta ecuación es de variables separables, se procede de la siguiente forma:

UNIDAD 2

NOTACIÓN DE SUMA DE RIEMANN

Sea f una función en [a, b] y tomemos una partición del intervalo [a, b], que denotaremos por P = {x0 = a, x1,...,xn = b} entonces llamamos suma de Riemann a una suma de la forma:

,con

De manera intuitiva esta suma representa la suma de áreas de rectángulos con base xk - xk - 1 y altura f(tk). Simbolizamos esta suma como S(P, f), también se utiliza la notación más extensa pero más explícita:

CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA EN UN INTERVALO

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

PROPIEDADES

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

INTEGRAL DEFINIDA.

Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b]∈ℝ, la integral definida esigual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b.

CAMBIO DE VARIABLE.

El cambio de variable es una técnica que nos permite pasar de una ecuación o integral complicada a otra más sencilla.

Los cambios de variable más frecuentes se suelen dar en:

Ecuaciones bicuadradas.
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales.
Ecuaciones logarítmicas.
Integrales.

INTEGRALES DEFINIDAS POR PARTES.

El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

FRACCIONES PARCIALES.

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinómios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinómio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS SOBRE, BAJO Y ENTRE EL EJE X.

Cómo calcular el área de una figura o región plana con la utilización de la integral definida.

Para calcular el área de una región plana que se encuentra bajo una función y sobre el eje X se utiliza la integral definida de dicha función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = 1 y X = 3.

Es bueno aclarar que cuando aplicamos la integral definida en las áreas que están ubicadas sobre el eje X el resultado lo obtendremos con signo positivo, mientras que en las áreas que están debajo del eje X el resultado lo obtendremos con signo negativo. Esta consideración no representa ningún problema en el cálculo del área. Simplemente este signo negativo nos indica que es un área que está debajo del eje X pero el área es la cantidad calculada con signo positivo.

1 1 ) Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x y g(x) = x2

Calculamos los puntos de corte de ambas funciones: